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雑考４００ 第３１９号 １０８９の謎 2002.2.24
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面白い計算の問題を知人から聞いた。「任意の３桁の数から、この数をひっくり返した数
を引く。その答えに、その答えをひっくり返した数を足すと、結果は必ず1089になる。但
し任意の３桁の数は、最初にひっくり返した数字を引く時、答えがプラスの３桁となるよ
うにする」具体的に計算してみる。任意の数を321とすれば、これをひっくり返した数123
を引くと 321-123=198 この答えに、答えをひっくり返した数891を足せば 198+891=1089
となる。以下、同様に 804-408=396 → 396+693=1089、491-194=297 → 297+792=1089、
771-177=594 → 594+495=1089 などだ。確かに必ず1089になりそうだ。証明に挑戦する。
任意の３桁の数を 100a+10b+c …(1) とすれば、(但a,b,cは1桁の正の整数、且つa-c≧2)
ひっくり返した数は 100c+10b+a …(2) となる。
最初の計算=(1)-(2)
=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)
=100a-a+10b-10b+c-100c
=99a-99c
=99(a-c) …(3)
ここで(3)を次のように書き換える。
99(a-c)
=100(a-c)-(a-c)
=100(a-c)-(a-c)+(90+10-100) ∵ (90+10-100)=0
={100(a-c)-100}+90+{10-(a-c)}
=100{(a-c)-1}+90+{10-(a-c)} …(4)
(4)をひっくり返した数は、
100{10-(a-c)}+90+{(a-c)-1} …(5)
次の計算=(4)+(5)
=[100{(a-c)-1}+90+{10-(a-c)}]+[100{10-(a-c)}+90+{(a-c)-1}]
=[100a-100c-100+90+10-a+c]+[1000-100a+100c+90+a-c-1]
=[100a-100a+a-a+100c-100c+c-c]+[1000-100+90+90+10-1]
=1000-100+90+90+10-1
=1089
以上から、任意の数a,b,cに関わらず、計算結果は1089となる。
証明に必要な知識は中学校の文字式と因数分解のみ。久しぶりに算数の問題を楽しんだ。
※今回は４００字をオーバーしましたが、了承願います。
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