雑考４００ 第１８９号 損益分岐点 2000.5.16
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会社決算の中で損益分岐点（そんえきぶんきてん）という言葉が出てくる。広辞苑には、
【損益分岐点】損益発生の分れ目となる売上高。売上高、費用(変動費・固定費)、利益の
関係において、一期間の売上高がこの額を超えて初めて、売上高に比例した利益が発生。
とある。何やら難しそうだ。
また経理関係の本を見ると、損益分岐点を説明する次のような図と公式が載っている。
うーむ。これは参った。と思っていたのだが、少し考えたら、中学校の数学の問題である
ことに気づいた。義務教育だけで十分に理解できるし、自ら導くことも可能な筈だ。
具体的には二元連立一次方程式を解けば良いと思う。試しに計算してみる。
利益を求める計算式は、
売上−費用＝利益
である。ここで利益がゼロなのだから
売上−費用＝０ → 売上＝費用
つまり、売上と費用が同じになる金額を求めれば良い。
一方、費用は固定費と変動費に分かれる。
費用＝固定費＋変動費
固定費は、売上が増えても固定で変わらない費用(リース料・家賃など)
変動費は、売上げが増えると比例して増える費用(仕入代・残業手当など) となる。
ここで大胆に、「変動費は、売上に正比例する」と仮定する。
（現実はそんなに単純ではなく、異論もあると思うが、簡素に数式化するため）
すると売上と費用の関係は、直線、つまり一次方程式で表される(上図のイ)。
売上がゼロの時は、固定費のみが発生し、これはｙ軸との交点、即ちｙ切片となる。
また、
売上＝費用
は、４５度の右上がり直線となる(上図のア)。
上図のアとイを、ｙ（費用）、χ（売上）として一般的な直線式で書くと、
ア ｙ＝χ
イ ｙ＝ａχ＋ｂ ※ａは売上に対する変動費の比例係数、ｂはｙ切片(固定費)
さて、アとイの交点が 売上＝費用 即ち 損益分岐点である。
交点を求めるには、連立方程式とし、その解を求めれば良い。
イのｙにアからｙ＝χを代入すると、
χ＝ａχ＋ｂ
これをχについて解くと、
ａχ−χ＋ｂ＝０
（ａ−１）χ＋ｂ＝０
χ＝ｂ／（１−ａ） ・・・・・(1)
ここでａは、売上に対する変動費の比例係数と定義したので、
ａ＝変動費／売上
となる。またｂは固定費である。よって(1)を日本語に置き換えて、分数の形にすると
となる。但し、上記の計算は、私が全く独自に行ったものなので、理論的な誤りがあるか
も知れない。あくまで、中学校数学レベルの頭の体操として了解して欲しい。
※今回は４００字をオーバーしましたが、了承願います。
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（ 「雑考４００」は、40字×10行の、１分で読める系統立っていない考察や考証です ）
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