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雑考４００ 第８５号 ロールペーパーの長さ１ 1999.8.29
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1999年3月に学習指導要領の改訂があった。高校数学の教材例に『半径5cmの芯に厚さ0.05
cmの紙を半径10cmまで巻いた時の紙の長さ』を問う問題があり、その解法が３例紹介され
ていたそうだ。インターネットで検索したが見つからないので、自分で考える事にする。
解法①力業 ロールの断面◎を時計に見たて中心から１２時へ向かって切れ目を入れる。
タマネギの皮をむくように、一枚ずつ剥がし、長さを計算して、これを合計すれば良い。
芯の部分から計算すると、長さは直径×πであるから、１周目は芯の直径10×π、２周目
は(芯の直径10+紙２枚分の厚さ0.1)×π、３周目は(芯の直径+紙２枚分の厚さ×2)×πと
なる。丁度100周で紙の厚さは0.05×100＝5cmとなり、芯の半径5cmと併せて半径10cmの
ロールペーパーが完成する。これを計算式にすれば、
１周目｛10+(0.1× 0)｝π
２周目｛10+(0.1× 1)｝π
３周目｛10+(0.1× 2)｝π
： ：
99周目｛10+(0.1×98)｝π
＋） 100周目｛10+(0.1×99)｝π
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全部足すと (10+0)π+(10+0.1)π+(10+0.2)π+(10+0.3)π+…+(10+9.8)π+(10+9.9)π
＝10π×100＋(0+0.1+0.2+0.3+…+9.8+9.9)π
ここで( 0+0.1+0.2+0.3+…+9.8+9.9)を計算する。
並び順を逆にして上下に並べ、それぞれの項を足せば、
0+0.1+0.2+0.3+…+9.8+9.9
＋） 9.9+9.8+9.7+9.6+…+0.1+ 0
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9.9+9.9+9.9+9.9+…+9.9+9.9 ＝ 9.9×100＝990
求める答えは、この半分だから 990÷2＝495
よってロールペーパーの長さは、
10π×100＋495π＝1000π＋495π＝1495πcm＝14.95πm
≒ 14.95×3.14
＝46.943ｍ となる。 （つづく）
※今回は４００字をオーバーしましたが、了承願います。
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